加倍序列中的包络词与间隙序列

设 $\omega$ 为加倍序列 $D_\infty=x_1x_2\cdots$ 的一个因子，则它在序列中出现无限多次。令 $\omega_p$ 为 $\omega$ 的第 $p$ 次出现，$G_p(\omega)$ 为 $\omega_p$ 与 $\omega_{p+1}$ 之间的间隙。本文讨论了间隙序列 $\{G_p(\omega)\}_{p\geq1}$ 的结构。我们证明了所有因子可分为两类：一类恰好有两个不同的间隙 $G_1(\omega)$ 和 $G_2(\omega)$，另一类恰好有三个不同的间隙 $G_1(\omega)$、$G_2(\omega)$ 和 $G_4(\omega)$。我们完全确定了间隙的表达式，并给出了每个间隙序列的替换规则。本文的主要工具是“包络词”（envelope word），这是一个记为 $E_{m,i}$ 的新概念。作为应用，我们确定了所有 $\omega_p$ 的位置，讨论了因子的某些组合性质，并统计了 $D_\infty[1,N]$ ($N\geq1$) 中不同平方因子的数量。