有限集上自映射的分裂子集的计数

设 $d$ 和 $n$ 为正整数且满足 $d|n$。设 $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$，$T$ 为 $[n]$ 上的自映射。称 $[n]$ 的基数为 $n/d$ 的子集 $W$ 为 $d$-分裂的，若 $W \cup TW \cup \cdots \cup T^{d-1}W =[n]$。令 $\sigma(d;T)$ 表示 $d$-分裂子集的个数。若 $\sigma(2;T)>0$，我们证明 $\sigma(2;T)=g_T(-1)$，其中 $g_T(t)$ 是 $[n]$ 的 $T$-不变子集个数的生成函数。有趣的是，将单位根代入整系数多项式具有计数意义。更一般地，令 $g_T(t_1,\ldots,t_d)$ 为 $d$-旗的 $T$-不变子集个数的生成函数。我们对某些自映射 $T$ 证明，若 $\sigma(d;T)>0$，则 $\sigma(d;T)=g_T(\zeta,\zeta^2,\ldots,\zeta^d)$，其中 $\zeta$ 为本原 $d$ 次单位根。