竞赛图有向图的熵

探讨了完全反对称有向图（即竞赛图）的 Rényi $\alpha$-熵 $H_{\alpha}$。我们在 $\alpha = 2$ 与 $3$ 时优化 $H_{\alpha}$，并发现随着 $\alpha$ 增大，$H_{\alpha}$ 对我们所称的“正则性”的敏感性也随之增强。具有 $n$ 个顶点的正则竞赛图是每个顶点出度均为 $\frac{n-1}{2}$ 的图，但正则竞赛图在结构上存在大量多样性；例如，正则竞赛图可使得每个顶点的出邻域诱导出一个正则竞赛图（双正则竞赛图）或传递竞赛图（旋转竞赛图）。随着 $\alpha$ 增大，在正则竞赛图集合上，$H_{\alpha}$ 在双正则竞赛图上取最大值，在旋转竞赛图上取最小值。越“正则”，熵越高。然而我们证明，在所有顶点数的所有竞赛图上，$H_2$ 与 $H_3$ 均由任意正则竞赛图最大化。我们还给出了一个等价于 von Neumann 熵的计算，其可应用于任意有向或无向图，并表明 von Neumann 熵是衡量图上或是有向图上随机游走多快 settling 的度量。