图的局部补全是否固有串行?

图 $G$ 在顶点 $v$ 上的局部补全是一种操作，结果得到新图 $G*v$，其中顶点 $v$ 的邻域被补全。两个图若可通过局部补全相互达到，则称为局部等价。此前已证明识别局部等价图可在 $\mathcal{O}(n^4)$ 时间内完成。我们 sharpening 此结果，证明可在 $\mathcal{O}(\log^2(n))$ 并行时间内完成，采用 $n^{\mathcal{O}(1)}$ 个处理器。作为第二个贡献，我们引入局部补全问题，这是一个捕捉连续局部补全复杂度的判问题。给定图 $G$、一个顶点序列 $s$ 以及一对顶点 $u,v$，该问题询问依据序列 $s$ 执行局部补全后得到的图中边 $(u,v)$ 是否存在。尽管问题简单，却被证明为 $\mathsf{P}$-complete，因而不太可能有效并行化。最后，我们推测局部补全问题在限制为圆图时仍为 $\mathsf{P}$-complete。