超临界分布型漂移项的能量解：推广与弱收敛率

本文考察维数 $d \geqslant 2$ 的随机微分方程\n\begin{equation}\n \text{d} X_t = b (t, X_t) \text{d} t + \sqrt{2} \text{d} B_t, \label{mainSDE}\n\end{equation}\n其中 $B$ 为布朗运动，$b : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathcal{S}' (\mathbb{R}^d , \mathbb{R}^d)$ 为分布型、满足 $\nabla \cdot b \equiv 0$ 的扩散超临界项。我们部分推广了来自 [GP24] 中关于能量解的超临界弱唯一性结果，允许混合其中所处理的不同正则性 regime：在小于 [GP24] 中“时依赖”局部奇异集合 $K \subset \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d$ 的邻域外，假设 $b$ 属于某种超临界 $L^q_T H^{s, p}$-型类，这允许从先验估计直接关联 PDE 与能量解，直到到达 $K$ 的停止时间。为建立此对应关系并实现全局唯一性，我们随后证明 $K$ 实际上永远不会被访问，这需要我们假设 $K$ 的维数与 $X$ 的 H"older 正则性之间存在关联。在本文的第二个部分，我们推导时独立漂移项（特别是如上所述的局部奇异项）的上述方程近似的弱收敛率。