将序嵌入中心单代数

将域嵌入数域 $K$ 上的中心单代数 $B$ 的问题曾是类域论的范畴。将包含在此类代数的最大子域 $L$ 的整数环中的序嵌入到该代数中的序这一主题则更为微妙。沿着这条思路的第一个结果是Chevalley的一个优雅结果，该结果指出，对于 $B = M_n(K)$，$L$ 的整数环可以嵌入其中的 $B$ 的最大序的同构类数（与总类数之比）为 $[L \cap \widetilde K : K]^{-1}$，其中 $\widetilde K$ 是 $K$ 的希尔伯特类域。Chinburg和Friedman考虑了满足Eichler条件的四元数代数中的任意二次序，而Arenas-Carmona考虑了将整数环嵌入到一大类更高秩中心单代数的最大序中。在本文中，我们考虑维数为 $p^2$（$p$ 为奇素数）的中心单代数，并证明 $K$ 的 $p$ 次扩张中的任意交换序，要么不嵌入，要么全部嵌入，要么恰好嵌入到 $p$ 个最大序同构类中的一个。这种具有选择性的交换序被显式刻画；类域在其中扮演关键角色。Chinburg和Friedman论证的一个关键要素是局部域上 $SL_2$ 的最大序树结构。在这项工作中，我们推广了Chinburg和Friedman的结果，用 $SL_p$ 的Bruhat-Tits建筑替代了树。