椭圆 2-球上一点在 Killing 向量场影响下的椭圆轨迹

本工作的重点是分析椭球面 $\mathbb{S}_{a_{1},a_{2},a_{3}}^{2}$ 上一点在 Killing 向量场 $K$ 影响下的轨迹。为此，我们引入广义 Darboux 标架和 $\mathbb{S}_{a_{1},a_{2},a_{3}}^{2}$ 的变分向量场。然后，我们依据沿椭球曲线的 Darboux 标架不变量确定 Killing 方程。Killing 方程使我们能够解释椭球面 $\mathbb{S}_{a_{1},a_{2},a_{3}}^{2}$ 上一点的磁轨迹。接着，我们利用变分法确定两种特殊轨迹。第一种是由 Killing 磁场 $K$ 产生的磁曲线，满足以下洛伦兹力方程 $F_{L} (t)=K\times _{E}t=\nabla _{T}t$，其中 $\times _{E}$ 为椭圆叉积，$\nabla$ 为椭球面 $\mathbb{S}_{a_{1},a_{2},a_{3}}^{2}$ 的 Levi-Civita 联络。第二种是广义磁螺旋线，其轨迹由椭球大椭圆上一点在 $\mathbb{S}_{a_{1},a_{2},a_{3}}^{2}$ 上作椭圆运动、无滑动地滚过椭球上固定椭圆的轨迹描述。此外，我们给出各种例子并用 Mathematica 程序将其可视化。