透镜空间上凸 Reeb 流的开椭圆绑定与首个 ECH 谱

本文中，我们首先利用有理自链接数 $sl_{\xi}^{\mathbb{Q}}(\gamma)$ 和 Conley-Zehnder 指标 $\mu_{\mathrm{disk}}(\gamma^{p})$（其中 $\mu_{\mathrm{disk}}$ 是由绑定圆盘诱导的平凡化所对应的 Conley-Zehnder 指标）给出透镜空间中有理无结 Reeb 轨道 $\gamma$ 为椭圆的充分条件。作为推论，我们证明动态凸 $L(p,1)$ 中的周期轨道 $\gamma$ 若满足 $\gamma^{p}$ 绑定圆盘型 Birkhoff 截面且 $\mu_{\mathrm{disk}}(\gamma^{p})=3$，则必为椭圆。文献 \cite{Sch} 已证明在动态凸 $L(p,1)$ 中这样的轨道总是存在。接下来，我们估计动态凸 $L(3,1)$ 上的首个 ECH 谱。特别地，我们证明严格凸（或非退化动态凸）$(L(3,1),\lambda)$ 上的首个 ECH 谱等于某些圆盘型 Birkhoff 截面的接触面积的下确界。论证的关键在于对 ECH 中出现的指标进行技术性计算，并观察支持 $(L(3,1),\xi_{\mathrm{std}})$ 的、源于 $J$-全纯曲线的有理开书分解的拓扑性质。