未知阶数隐状态 LTI 状态空间模型的高效学习

本文旨在解决隐状态线性时不变（LTI）状态空间系统中当隐状态维数未知时出现的两个相关估计问题。即，从该系统的单条轨迹的部分观测中，估计系统任意有限个 Markov 参数以及估计系统的最小实现。对两个问题，我们都以各种估计误差上界、$\rank$ 恢复条件和样本复杂度估计的形式给出统计保证。具体而言，我们首先证明 Hankel 惩罚最小二乘估计器的低 $\rank$ 解满足 $S_p$-范数（$p \in [1,2]$）下的估计误差，该误差比简单最小二乘的现有算子范数上界更好地刻画了系统阶数的影响。然后，我们针对基于 Ho-Kalman 算法变体的估计过程给出稳定性分析，该分析改进了对于 Markov 参数的 Hankel 矩阵在维数以及最小奇异值上的依赖。最后，我们提出一种用于最小实现的估计算法，其同时使用 Hankel 惩罚最小二乘估计器和基于 Ho-Kalman 的估计过程，并以高概率保证恢复系统的正确阶数，且满足 $S_2$-范数下的一种新的快速率，在对问题维数及其他参数的依赖上实现多项式级的降低。