列空间还是零空间：实现问题的最小二乘法
系统与控制
2025-05-27 v1 系统与控制
摘要
本文重新审视了经典的近似实现问题，该问题涉及基于截断的 Markov 参数序列估计来确定状态空间模型的矩阵。由这些 Markov 参数构建的 Hankel 矩阵在此问题中起着基础性作用，利用了其列空间和左零空间均编码了关于状态空间模型关键信息这一事实。我们考察了基于 Hankel 矩阵的两种原型实现算法：经典的基于列空间（基于 SVD）的方法和较新的基于零空间的方法。结果表明，基于列空间的方法对应于总体最小二乘解，而基于零空间的方法对应于普通最小二乘解。通过分析两种算法在敏感性上的差异，我们确定了应优先选择哪种实现算法的条件，并识别了导致实现问题病态的因素。此外，鉴于两种方法均为次优，我们论证了通过加权最小二乘法可获得最优实现。本文还提供了这些方法的统计分析，包括其一致性与渐近正态性。
引用
@article{arxiv.2505.19639,
title = {Range Space or Null Space: Least-Squares Methods for the Realization Problem},
author = {Jiabao He and Yueyue Xu and Yue Ju and Cristian R. Rojas and Håkan Hjalmarsson},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.19639},
year = {2025}
}