部分观测线性动力系统预测与辨识的改进收敛速率

从部分观测中辨识线性时不变动力系统是控制理论中的一个基本问题。尤其具有挑战性的是表现出长期记忆的系统。一个自然的问题是如何以依赖于系统固有维度（阶数）$d$而非可能大得多的记忆长度的非渐近统计速率来学习此类系统。我们提出一种算法，在给定长度为 $T$ 且含高斯观测噪声的单条轨迹时，以 $\mathcal{H}_2$ 误差 $\widetilde O\left(\sqrt\frac{d}{T}\right)$ 的近最优速率学习系统，且仅对记忆长度具有对数而非多项式依赖。我们还给出了在过程噪声下的界以及用于学习系统一个实现（realization）的改进界。我们的算法基于多尺度低秩近似：对几何递增尺寸的 Hankel 矩阵应用 SVD。我们的分析依赖于在频域上谨慎使用集中界——我们给出了相关输入样本协方差及 $\mathcal H_\infty$ 范数估计的更紧集中界，这或许具有独立意义。