带误差估计的幂律散粒噪声的 Edgeworth 展开

考虑 $\mathbb{R}^d$ 中的齐次泊松过程，$d \ge 1$。令 $R_1 < R_2 < \dots$ 为各点到原点的距离，并令 $S = R_1^{-\gamma} + R_2^{-\gamma} + \dots$，其中 $\gamma > d$ 为参数。令 $\overline{S}^{(r)} = \sum_k R_k^{-\gamma} \, \mathbf{1}_{R_k \ge r}$ 为半径 $r$ 之外对 $S$ 的贡献。对足够大的 $r$，以及 $\overline{S}^{(r)}$ 支撑集中的任意 $\overline{s}$，考虑将均值平移至 $\overline{s}$ 的测度变换。我们推导了变换后随机变量的 Edgeworth 展开的严格误差估计。我们的误差项在 $\overline{s}$ 上一致，并明确给出了误差对 $r$ 及展开阶数 $k$ 的依赖性。作为应用，我们给出了一个方案，以任意所需精度逼近给定 $S = s$ 时 $R_1$ 的条件分布，其误差界在 $s$ 上一致。在此过程中，我们证明了给定 $S = s$ 时 $(R_1, R_2, \dots)$ 与无条件半径 $(R'_1, R'_2, \dots)$ 之间的随机比较。