基于 Jaillet-Lu LP 的边权在线随机匹配

在线随机匹配问题由 [FMMM09] 提出，随后提出了具有 $(1-\frac{1}{e})$ 竞争比的建议匹配算法。 在最一般的边权设置下，该比率已超过一十年未得到改进，直至最近 [Yan24] 突破了 $1-\frac{1}{e}$ 边界，[QFZW23] 进一步提高到 $0.650$。 两者均根据由 Jaillet 和 Lu [JL14] 提出的离线 LP 松弛来衡量在线竞争性能。 该相同的 LP 也在其他设置中发挥重要作用，因其是两选项在线算法的自然选择。在本文中，我们给出该问题在 Jaillet-Lu LP 下的上界 $0.663$ 和下界 $0.662$。 我们提出了一个简单实例并确定该特定实例的最优在线算法，其竞争比为 $<0.663$。 尽管该实例简单，我们随后表明其一个接近最优的算法（竞争比 $>0.662$）可被推广到所有实例中而不损失任何性能。 由于我们的算法是从实际的近最优算法推导而来，而非手动组合简单策略，因此相较于前期工作，它具有两个自然优势：(1)其匹配策略随时间变化；(2)它利用关于离线顶点的全局信息。另一方面，上界表明如果我们希望通过超过 $0.001$ 的比例进行改进，则需要更强大的 LP 和多选项策略。除了我们的主要结果外，我们还推广了由 [HS21] 建立的泊松到达模型与原始在线随机匹配之间的渐近等价，消除了对在线算法近似单调性的要求。