三个递归π算法的简易证明
数论
2025-06-11 v3
摘要
本文由三个独立部分组成：首先，我们仅使用初等代数证明 Borwein 兄弟的四次算法与 Brent-Salamin 算法输出完全相同，但后者需要多一倍的迭代次数。其次，我们利用积分学证明 Brent-Salamin 算法逼近 π。结合这些结果可证 Borwein 兄弟的四次算法也逼近 π。第三，我们证明 Brent-Salamin 算法的二次收敛性，这也证明了 Borwein 算法的四次收敛性。
引用
@article{arxiv.1907.04110,
title = {Easy Proof of Three Recursive $\pi$-Algorithms -- Einfacher Beweis dreier rekursiver $\pi$-Algorithmen},
author = {Lorenz Milla},
journal= {arXiv preprint arXiv:1907.04110},
year = {2025}
}
备注
bilingual: English (14 pages) & German (14 pages); v2: added Remark 1.2 & removed typo; v3: updated Remark 3.2 & 3.3