Borwein 兄弟、π 与 AGM

我们考察 Jonathan 和 Peter Borwein 兄弟在 $\pi$ 和初等函数的高精度计算方面的一些贡献，特别参考了他们的著作《Pi and the AGM》（Wiley，1987）。此处“AGM”是 Gauss 和 Legendre 的算术-几何平均。由于 AGM 二次收敛，它可与快速乘法算法结合，给出用于 $\pi$ 的 $n$ 位计算以及更一般地初等函数的快速算法。这些算法以几乎线性时间 $O(M(n)\log n)$ 运行，其中 $M(n)$ 是 $n$ 位乘法的耗时。我们概述了《Pi and the AGM》中给出的一些结果与算法，并给出一些相关（但新颖）的结果。特别地，我们改进了某些二次和四次收敛的 $\pi$ 算法（如 Gauss-Legendre 算法）已发表的错误界。我们证明 Borwein-Borwein 四次 $\pi$ 算法的一次迭代等价于 Gauss-Legendre 二次 $\pi$ 算法的两次迭代，其意义是若使用精确算术执行，它们产生完全相同的 $\pi$ 逼近序列。