计算 Petz-Autin 均值的线性收敛算法

我们研究计算 Petz-Autin 均值的问题，该均值为参数 $\alpha \in (0,1) \cup (1,\infty)$ 下的最小化者，其在 $d \times d$ 量子状态集合上对 $n$ 个 Petz-雷尼克散度(秩 $\alpha$ 的量子推广) 的加权和。我们提出了第一个具有非渐近收敛保证的算法用于解决此优化问题。该算法保证迭代结果相对于 $\alpha \in (1/2,1)\cup(1,\infty)$ 的 Thompson 度量以线性收敛速率 $O\left( \lvert 1 - 1/\alpha \rvert^T \right)$，其中 $T$ 表示迭代次数。算法的初始化时间复杂度为 $O\left(nd^3\right)$，每次迭代时间复杂度为 $O\left(nd^2 + d^3\right)$。 follow two applications。首先，我们提出了第一个具有非渐近收敛保证的迭代方法用于计算 $\alpha \in (1/2,1)$ 的 Petz 容量，这是一种概括量子信道容量的量子信道，刻画经典-量子信道编码的最优错误指数。其次，我们证明当所有量子态 commute 时，Petz-Autin 均值等价于 Fisher 市场中常规弹性 $\rho=1-1/\alpha$ 的 CES 效用下的均衡价格，我们提出的算法可解释为一种拍头(t\^{a}tonnement)动态。我们将所提算法扩展到非均匀 Fisher 市场，其中买家具有不同的弹性，并证明其实现的收敛速率优于现有的拍头类型算法。