基于随机对偶平均的期望对数损失快速最小化

考虑在概率单纯形或量子密度矩阵集合上最小化期望对数损失的问题。该问题包含诸如求解泊松逆问题、计算量子态层析的最大似然估计，以及以当前最紧近似比逼近半正定矩阵积和式等任务。尽管该优化问题是凸的，但由于损失函数缺乏Lipschitz连续性与光滑性，一阶方法的标准迭代复杂度保证并不直接适用。本工作中，我们提出一种名为带对数障碍的$B$样本随机对偶平均的随机一阶算法。对于泊松逆问题，我们的算法在$\smash{\tilde{O}}(d^2/\varepsilon^2)$时间内达到$\varepsilon$-最优解，与当前最优水平一致，其中$d$表示维度。在计算量子态层析的最大似然估计时，我们的算法在$\smash{\tilde{O}}(d^3/\varepsilon^2)$时间内给出$\varepsilon$-最优解。这相比现有随机一阶方法的时间复杂度改进了$d^{\omega-2}$倍，相比批处理方法改进了$d^2$倍，其中$\omega$表示矩阵乘法指数。数值实验表明，在经验上，我们的算法优于具有明确复杂度保证的现有方法。