含碰撞恒星系统的动力学：近无碰撞极限下的特征值与特征函数

我们研究了在存在弱碰撞的情况下，具有 Maxwellian 分布函数（DF）的无限均匀自引力模型中微扰的衰减。在稳定参数范围内的无碰撞系统中，特征值谱由与 van Kampen 模式相关的连续实频率集组成，这些模式是恒星 DF 的奇异特征函数。恒星密度和引力势中的初始微扰通过这些模式的叠加呈指数衰减，这种现象被称为 Landau 阻尼。然而，恒星 DF 中的微扰并不会自相似地衰减；它随时间在速度空间中变得愈发振荡，这表明不存在与 Landau 阻尼特征频率相对应的特征函数。因此，我们将经历 Landau 阻尼的微扰称为准模式，而非真正的特征模式。即使是罕见的碰撞也会抑制速度空间中陡峭 DF 梯度的形成。C. S. Ng 和 A. Bhattacharjee 证明，引入碰撞会消除 van Kampen 模式，并将 Landau 准模式转化为构成完备集的真正特征模式。随着碰撞频率趋于零，其特征频率收敛至无碰撞 Landau 准模式的特征频率。在本研究中，我们研究了当碰撞频率趋于零时，阻尼最小的非周期模式的特征函数行为。我们推导了共振区域中特征函数以及阻尼率作为碰撞频率函数的解析表达式。此外，我们采用标准矩阵特征值问题方法对解析结果进行了数值验证。