弱碰撞朗道阻尼与三维伯恩斯坦-格林-克鲁斯卡模式：老问题的新结果

朗道阻尼和伯恩斯坦-格林-克鲁斯卡（BGK）模式是等离子体物理中最基本的概念之一。前者描述了无碰撞等离子体中线性等离子体波的令人惊讶的阻尼，后者则描述了弗拉索夫方程的精确无阻尼非线性解。两者之间确实存在联系：朗道阻尼可被描述为无阻尼本征模——即所谓的凯斯-范坎彭模式——的相位混合，这些模式可被视为线性极限下的BGK模式。尽管这些概念已存在很长时间，但仍在不断发现意想不到的新结果。对于朗道阻尼，我们表明，教科书中相位混合的图像在存在碰撞的情况下会发生深刻改变。特别是，凯斯-范坎彭模式的连续谱被消除，并由离散谱取代，即使在零碰撞极限下也是如此。此外，我们证明这些离散本征模构成了一组完备的解。朗道阻尼解随后被恢复为真正的本征模（而在无碰撞理论中它们并非如此）。对于BGK模式，我们的兴趣源于近期在磁层等离子体中发现的静电孤立波。虽然一维BGK理论已相当成熟，但文献中似乎没有精确的三维解（除了当磁场足够强以至于可以应用导心近似的极限情况）。我们实际上证明，仅依赖于能量的二维和三维解并不存在。然而，如果解同时依赖于能量和角动量，我们可以为无磁化情况构造精确的三维解，并为存在有限磁场的情况构造二维解。后者被证明是稳态弗拉索夫-泊松-安培系统的精确、完全电磁解。