二次多项式的动力学与一条亏格为$4$的曲线上的有理点

令$f_t(z)=z^2+t$。对任意$z\in\mathbb{Q}$，设$S_z$为使得$z$关于$f_t$为预周期的$t\in\mathbb{Q}$的集合。在本文中，假设Flynn、Poonen与Schaefer的一个著名猜想，我们证明关于$z\in\mathbb{Q}$上$S_z$大小的一个一致性结果。为证明它，我们需要确定一条定义在$\mathbb{Q}$上的特定非超椭圆亏格$4$曲线$C$上的有理点集合。我们使用Chabauty方法，这要求我们确定$C$的雅可比$J$的Mordell-Weil秩。我们给出秩为$1$的两个证明：一个解析证明，其条件依赖于$J$的BSD秩猜想以及关于L-级数的若干标准猜想；一个代数证明，其无条件成立，但依赖于两个次数分别为$12$和$24$的数域的类群计算。我们最终结合两个证明所获得的信息，提供对$J$的强BSD猜想的一个数值验证。