McMillan 映射的动力学 I. McMillan 多极子

在本文中，我们考虑两个动力系统：McMillan 六极子和八极子可积映射，最初由 Edwin McMillan 提出。两者均代表最简单的对称 McMillan 映射，其特征是具有单一内禀参数。尽管这些系统在数学和物理的众多领域有广泛应用，但其某些动力学性质仍未被探索。我们旨在通过提供对所有稳定轨迹的全面描述来填补这一空白，包括不变曲线的参数化、Poincar\'e 旋转数和正则作用量-角变量。在第二部分中，我们建立了这些映射与标准形式下的一般混沌映射之间的联系。我们的研究表明，McMillan 六极子和八极子可作为不动点附近动力学的一阶近似，类似于代表零阶近似（称为线性化）的线性映射和二次不变量（在加速器物理中称为 Courant-Snyder 不变量）。此外，我们提出了一种非线性 Twiss 参数的新形式体系，以解释旋转数对振幅的依赖关系。这与加速器物理中使用的常规 betatron 相移形成对比，后者与振幅无关。值得注意的是，在加速器物理背景下，这种新形式体系展示了其预测扁平束流在低阶共振附近动力学孔径的能力，这是束流注入/引出场景中的关键方面。