Dvoretzky定理与纠缠检测的复杂性

著名的Horodecki判据断言，$\mathbf{C}^d \otimes \mathbf{C}^d$上的态$\rho$是纠缠的，当且仅当存在一个正映射$\Phi : \mathsf{M}_d \to \mathsf{M}_d$使得算子$(\Phi \otimes \mathrm{Id})(\rho)$不是半正定的。我们证明，检测所有鲁棒纠缠态（即即使在存在显著随机化噪声时仍保持纠缠的态$\rho$）所需此类映射的数量超过$\exp(c d^3 / \log d)$。证明基于Figiel--Lindenstrauss--Milman的1977年不等式，该不等式最终依赖于关于凸体几乎球状截面的Dvoretzky定理。我们将该不等式解释为关于凸体可由具有少量顶点或少量面的多胞体逼近的命题，并将其应用于量子态集合与可分离态集合精细性质的研究。我们的结果可被视为纠缠检测复杂性的几何表现。