非负回路多项式之和的对偶性与最优 SONC 界
最优化与控制
2019-12-11 v1 代数几何
摘要
回路多项式是满足若干条件的多项式，使其易于计算锐利且可证的全局下界。因此，人们可像更知名的平方和多项式那样，将其写为具有已知下界的回路多项式之和（若可能），从而为任意多项式求得可证下界。Seidler 与 de Wolff 近期证明：只要多项式有下界且其支撑满足非退化假设，非负回路(SONC)多项式之和便可以多项式时间按此方式计算多项式的全局下界（称为 SONC 界）。SONC 界的质量取决于计算所用回路，但在天文数字般的候选回路中找到能给出最优可达 SONC 界的回路集合，是一项迄今未解决的非平凡任务。本文提出一种高效方法，通过迭代识别 SONC 界过程中应使用的最优回路来计算最优 SONC 下界。该方法基于对 Wang 近期结果的新证明，该结果表明（在相同非退化假设下）每个 SONC 多项式可分解为同支撑上的 SONC 多项式。我们基于凸规划对偶性的证明去掉了非退化假设，并启发了一种生成最优回路集合、以对稀疏多项式尤为有利的方式计算相应 SONC 界的算法。该方法已实现，并在多达 40 个未知量、次数达 60、支撑中多达 3000 个单项式的大量稀疏多项式优化问题上测试。结果表明该方法在实践中高效。[摘要因 arXiv 字符限制被截断]
引用
@article{arxiv.1912.04718,
title = {Duality of sum of nonnegative circuit polynomials and optimal SONC bounds},
author = {Dávid Papp},
journal= {arXiv preprint arXiv:1912.04718},
year = {2019}
}