费曼路径积分生成泛函的对偶表示

标量理论的生成泛函允许一种相对于施温格（Schwinger）引入的表示而言的对偶表示，它交换了自由项与相互作用项的角色。它将 $\int V(\delta_J)$ 和 $J\Delta J$ 分别映射到 $\delta_{\phi_c}\Delta\delta_{\phi_c}$ 和 $\int V(\phi_c)$，其中 $\phi_c=\int J\Delta$，$\Delta$ 为费曼传播子。将施温格表示与其对偶版本比较，可得到一个鲜为人知的关系，我们证明它是更一般的算子关系的特例。随后我们推导出生成泛函 $T[\phi_c]=W[J]$ 的一种新表示，用作用于 1 的协变导数表达：$$T[\phi_c] = {N\over N_0} \exp(-U_0[\phi_c])\exp\Big(-\int V({\cal D}_{\phi_c}^-)\Big) \cdot 1$$ 其中 ${\cal D}_{\phi}^{\pm}(x)=\mp\Delta{\delta\over\delta\phi}(x)+\phi(x)$。该对偶表示与埃尔米特多项式深刻相关，是表达与势之和相关联的生成泛函以因子化生成泛函形式的关键。这应用于重整化，导致相互作用抵消项的因子化。我们研究正规序势的生成泛函结构，并推导出势 ${\lambda\over n!}:\phi^n:$ 情况下的一组无穷关系。此类关系通过 Faà di Bruno 公式显式导出。这也给出了连通格林函数生成泛函的显式表达式。