泛函积分的新视角

本文的核心是一个具有大量特例的通用定理。给定流形 $N$ 及 $N$ 上由生成元 $Y, X_{(1)}, \cdots, X_{(d)}$ 生成的有限个一参数点变换群，我们通过对 $N$ 上带点路径空间（含一个固定点的路径）的泛函积分，得到作用于 $N$ 上张量或旋量场的一参数泛函算子群。该群的生成元是 $X_{(\a)}$-方向上的李导数 $\La_{X_{(\a)}}$ 的二次型加上一项关于 $\La_Y$ 的线性项。基本泛函积分在 $L^{2,1}$ 路径 $x: {\bf T} \ra N$（具有平方可积一阶导数的连续路径）上。尽管积分测度对时间平移不变，该积分仍足够有力以用于非时间平移不变的系统。我们给出基本公式的七个非平凡应用，并计算其半经典展开。证明方法是严格的，结合了 Albeverio H\oegh-Krohn 振荡积分与 Elworthy 的弯曲空间路径参数化。与其他方法不同，我们直接解薛定谔型方程，而非先解扩散方程再作解析延拓。