具有随机重置的 Cayley 树上的漂移—扩散:局域化—退局域化转变

本文发展了具有随机重置的半无限 Cayley 树上的漂移—扩散理论。在具有封闭终端节点且无重置的均匀树情形下,已知系统在临界平均速度 $v_c= -(D/L)\ln (z-1)$ 处经历经典的局域化—退局域化(LD)转变,其中 $D$ 为扩散系数,$L$ 为分支长度,$z$ 为树的配位数。若 $v <v_c$,则终端节点处的稳态浓度非零(漂移主导的局域化态),而当 $v >v_c$ 时为零(扩散主导的退局域化态)。这等价于树上常返与暂态输运之间的转变,被开放终端节点吸收的平均首次 Passage 时间(MFPT)从有限值跃变为无穷。此处我们展示 LD 转变如何为理解最优重置率中的类似相变提供基本框架。首先,我们确立了使封闭终端节点处稳态解最大化的最优重置率 $r^{**}(z)$ 的存在性。此外,我们展示了在临界速度 $v_c^{**}(z)$ 处存在相变,使得当 $v>v_c^{**}$ 时 $r^{**}>0$,而当 $v<v_c^{**}$ 时 $r^{**}=0$。随后我们为第二最优重置率 $r^*$ 识别出一个临界速度 $v^*(z)$,该重置率最小化被开放终端节点吸收所需的 MFPT 的相变。令 $z=2$ 可恢复半无限直线上的先前结果。LD 转变的临界速度为其他临界速度提供了上界,使得对所有有限 $z$ 有 $v_c^*(z)<v_c^{**}(z)<v_c(z)$。仅 $v_c(z)$ 对配位数 $z$ 具有简单的普适依赖关系。最后我们考虑了淬火无序与随机重置的联合效应。