R\'emy 树增长链的 Doob--Martin 边界

R\'emy 算法是一个马尔可夫链，它以迭代方式生成随机树序列，使得第 $n^{\mathrm{th}}$ 棵树在具有 $2n+1$ 个顶点的有根平面二叉树集合上均匀分布。我们获得了该瞬态马尔可夫链 Doob--Martin 边界的具体刻画，从而 delineate 了该过程在长时间下被条件化为“趋向无穷”的所有方式。一个有限的有根平面二叉树（确定性）序列收敛到边界中的一点，如果对于每个 $m$，从序列中第 $n^{\mathrm{th}}$ 棵树中均匀随机选择的 $m+1$ 个叶子所张成的随机有根平面二叉树，在 $n$ 趋于无穷时依分布收敛——这一收敛概念类似于近期发展的图极限理论中出现的概念。我们表明，Doob--Martin 边界中的一点可识别为以下对象系综：一个在适当意义下有根且二叉的完备可分 $\mathbb{R}$-树，一个允许我们从中采样点的 $\mathbb{R}$-树上的扩散概率测度，以及一个描述给定一对点中第一点位于其最近公共祖先下方左侧而第二点位于下方右侧的概率的 $\mathbb{R}$-树上的核。Doob--Martin 边界与归一化非负调和函数的闭凸集的极点集双射对应，换言之，极小 Doob--Martin 边界与完整 Doob--Martin 边界重合。这些结果的精神与图极限理论中将 graphons 识别为极限对象相一致。