高维偏微分方程的 DNN 表达速率分析：在期权定价中的应用

我们分析了深度 ReLU 网络对期权定价中一类 Kolmogorov 方程多元解的逼近速率。关键技术手段是能够高效逼近张量积的深度 ReLU 架构。将此与关于性质良好（即满足某些光滑性性质）一元函数逼近的结果相结合，可深入揭示具有张量结构的多元函数的深度 ReLU 逼近速率。我们特别将其应用于 Black-Scholes 模型下欧洲最大值一篮子期权（basket of $d$ 资产）定价这一模型问题。我们证明，$d$ 元期权定价问题的解可被一个深度为 $\mathcal{O}\big(\ln(d)\ln(\varepsilon^{-1})+\ln(d)^2\big)$、非零权重数为 $\mathcal{O}\big(d^{2+\frac{1}{n}}\varepsilon^{-\frac{1}{n}}\big)$ 的深度 ReLU 网络以 $\varepsilon$ 误差逼近，其中 $n\in \mathbb{N}$ 为任意自然数（$\mathcal{O}(\cdot)$ 中隐含的常数依赖于 $n$）。该构造性证明中发展的技术，对于分析深度神经网络在高维 PDE 解流形上的表达能力具有独立意义。