高维指数 Lévy 模型中期权价格的深度 ReLU 网络表达率

我们研究了深度神经网络（简称 DNN）对基于 $d$ 个风险资产篮子 written 的期权价格的表达率，这些资产的对数收益由具有跳跃一般相关结构的多元 Lévy 过程建模。我们建立了 Lévy 过程 $X$ 的特征三元组的充分条件，使得 DNN 表达的期权价格达到 $\varepsilon$ 误差时，DNN 规模随 $\mathcal{O}(\varepsilon^{-1})$ 多项式增长，且 $\mathcal{O}(\cdot)$ 中隐含常数随 $d$ 多项式增长，从而克服维数灾难，并证明 DNN 在带跳跃市场的大篮子金融建模中的合理性。此外，我们利用某些多元 Lévy 过程的 Kolmogorov 偏积分微分方程抛物光滑性，给出 ReLU DNN 的替代架构，其在 DNN 规模 $\mathcal{O}(|\log(\varepsilon)|^a)$（指数 $a \sim d$）下提供 $\varepsilon$ 表达误差，但 $\mathcal{O}(\cdot)$ 中隐含常数随 $d$ 指数增长。在 Lévy 符号更强的、维数一致的非退化条件下，我们得到指数 Lévy 模型中期权价格的代数表达率，且不受维数灾难影响。此时 ReLU DNN 的价格表达率依赖于特征 Lévy 三元组的某些稀疏性条件。我们指出了本研究结果的若干推论与可能的推广。