深度神经网络在最优停止问题中的表达能力

本文研究高维状态空间上离散时间马尔可夫过程最优停止问题的深度神经网络表达式率。建立了一个通用框架，其中最优停止问题的价值函数与延续价值可由规模不超过 $\kappa d^{\mathfrak{q}} \varepsilon^{-\mathfrak{r}}$ 的深度ReLU神经网络以至多 $\varepsilon$ 的误差逼近。常数 $\kappa,\mathfrak{q},\mathfrak{r} \geq 0$ 不依赖于状态空间的维数 $d$ 或逼近精度 $\varepsilon$。这证明了深度神经网络在用于求解最优停止问题时不受维数灾难影响。该框架涵盖了例如指数Lévy模型、离散扩散过程及其运行最小值与最大值。这些结果从数学上论证了使用深度神经网络数值求解高维最优停止问题及美式期权定价的合理性。