Dixon 定理与随机同步化

集合 Ω 上的变换幺半群若包含一个秩为 1 的元素（即将整个 Ω 映射到单个点），则称为同步化幺半群。本文探讨如下问题：给定 n 和 k，由 k 个随机变换生成的全变换幺半群 T_n 的子幺半群是同步化的概率是多少？该问题类似于 Dixon 定理，即两个随机置换以高概率生成对称群或交错群。遵循 Dixon 定理的技术，我们需要分析 T_n 的极大非同步化子幺半群。我建立了变换幺半群与图之间的紧密联系，由此将非同步化幺半群描述为满足某些极强条件的图的同态幺半群。然而，计数此类图并处理其同态幺半群的交集似乎很困难。