关于有向图同步着色的数量

我们处理带环的 $k$-出正则有向多重图（简称为\emph{有向图}）。这种有向图的边可以用某个固定的 $k$ 元集合的元素着色，使得每个顶点的出边具有不同颜色。这样的着色自然对应于一个自动机。道路着色定理指出每个本原有向图都有一个同步着色。本文研究具有 $n$ 个顶点的有向图可以存在多少同步着色。我们对顶点数较少的有向图进行了广泛的实验研究。这是通过使用我们专门的算法穷举枚举所有小型有向图完成的。我们还提出了一系列有向图，其同步着色比例为 $1-1/k^d$，其中每个 $d \ge 1$ 且顶点数足够大。基于我们的结果，我们提出了若干猜想和开放问题。特别地，我们猜想 $1-1/k$ 是同步着色可能的最小比例，除了 $k=2$ 时一个关于 6 个顶点的单一例外例子。