随机整数多项式表达式的可除性性质

我们研究集合 $\{f_1(\mathbf{U}_n^{(s)}),\ldots,f_m(\mathbf{U}_n^{(s)})\}$ 的可除性性质，其中 $f_1,\ldots,f_m$ 是 $\mathbb{Z}$ 上 $s$ 元多项式，$\mathbf{U}_n^{(s)}$ 是从集合 $\{1,\ldots,n\}^s$ 中均匀随机选取的点，$s\in\mathbb{N}$。我们表明，在 $f_1,\ldots, f_m$ 的温和假设下，该集合的 ${\rm GCD}$ 与适当归一化的 ${\rm LCM}$ 在分布上收敛于几乎必然有限的随机变量。我们的方法基于整数 adele（整数阿代尔）的概念，以及均匀分布于 $\{1,\ldots, n\}$ 收敛到整数 adele 环上 Haar 测度这一已知事实，并结合 Lang-Weil 界。