Lee 类的可除性及其与 Rasmussen 不变量的关系

$\mathbb{Q}$ 上的 Lee 同调（Khovanov 同调的一个变体）拥有“典范生成元”作为其基。这些生成元（Lee 类）$[\alpha(D, o)]$ 由定向链环图 $D$ 组合构造而成，$D$ 上的每一个交替定向 $o$ 对应一个生成元。设 $R$ 为一个整环。存在一族链环同调理论 $\{ H_c(-; R) \}_{c \in R}$，其中 Khovanov 理论对应于 $c = 0$，Lee 理论对应于 $c = 2$。对于每个 $c \in R \setminus 0$，Lee 类 $[\alpha(D, o)]$ 可以定义为 $H_c(D; R)$ 中的元素，但当 $c$ 不可逆时，它们不构成基；事实上它们可被 $c$ 的幂整除。我们定义 $[\alpha(D, o)]$ 的 $c$-可除性 $k_c(D)$，其中 $o$ 为 $D$ 的给定定向。对于任意链环 $L$ 及其图 $D$，我们证明 $\bar{s}_c(L) := 2k_c(D) + w(D) - r(D) + 1$ 是一个链环不变量，其中 $w$ 为拧数，$r$ 为 Seifert 圈数。我们提出 $\bar{s}_c$ 是否与 Rasmussen 的 $s$-不变量重合的问题。有若干证据支持肯定答案。例如，$\bar{s}_c$ 是一个链环合痕不变量，且使用 $\bar{s}_c$ 可以重新证明 Milnor 猜想。同样在特例 $(R, c) = (\mathbb{Q}[h], h)$ 下，我们的 $\bar{s}_c$ 作为纽结不变量实际上与 $s$ 重合。