阈值高斯与稳定向量的分割染色表示

我们研究如下问题：与零均值高斯向量或对称稳定向量相关联的取 $\{0,1\}$ 值的阈值过程何时对应于一个{\it 分割染色（DC）过程}。这意味着，对应于固定阈值水平 $h$ 并令变量大于 $h$ 时取 1 的过程，源于指标集的一个随机划分，随后以概率 $p$ 和 $1-p$ 独立地对每个划分块内的{\it 所有}元素染为 1 或 0。结果表明，当阈值为零时，所有离散高斯自由场均产生 DC 过程；而对于一般的 $n$ 维零均值、方差为 1 且协方差非负的高斯向量，当 $n=3$ 时普遍成立，但 $n=4$ 时不成立。其行为在阈值水平 $h$ 为零与否时差异显著，且我们证明在 $h$ 上不存在任一方向的普遍单调性。我们还证明，所有具有有限变量数的常方差离散高斯自由场在较大阈值下均产生 DC 过程。在稳定情形中，对于具有三个变量的最简单非平凡对称稳定向量，我们在稳定性指数 $\alpha$ 的意外值 $1/2$ 处获得相变；若稳定指数大于 $1/2$，则过程在较大 $h$ 下产生 DC 过程，而若稳定指数小于 $1/2$，则并非如此。