模 1 分布与伯努利多项式的分母

令 $\{\cdot\}$ 表示小数部分，$n \geq 1$ 为固定整数。在这篇短注中，我们证明了对于任意素数 $p$，存在一一对应关系 $$\sum_{\nu \geq 1} \left\{\frac{n}{p^\nu}\right\} > 1 \quad \iff \quad p \mid \mathrm{denom}( B_n(x) - B_n ),$$ 其中 $B_n(x) - B_n$ 是不含常数项的第 $n$ 个伯努利多项式，$\mathrm{denom}(\cdot)$ 是其分母，且该分母是无平方因子的。