到判别式的距离

我们将研究实单位球面 $\mathcal S^{n-1}$ 上的代数超曲面，其由 $n$ 个变量的 $d$ 次齐次多项式给出，采用的视角是较少被利用的欧几里得几何视角，即使用 Bombieri 内积和范数。这一视角主要存在于关于随机超曲面拓扑的研究中 \cite{ShubSmale93, GayetWelschinger14}。我们的第一个结果（引理 \ref{distgen}，第 \pageref{distgen} 页）是多项式到 {\em 实判别式} $\Delta$（即球面上具有实奇点的多项式集合）的距离 $\dist(P,\Delta)$ 的公式。该公式适用于由多项式向量空间上的内积导出的任何距离。随后，我们专注于 Bombieri 内积及其显著性质。例如，我们建立了两个线性形式乘积的内积的组合公式（引理 \ref{scalarlinear}，第 \pageref{scalarlinear} 页），这使得我们可以给出 Bombieri 范数在正交群复合下的不变性的一个（新的？）证明。这些性质导出了定理 \ref{bombineqdist}（第 \pageref{bombineqdist} 页）中距离的一个简单公式，由此我们推导出以下不等式：$$\dist(P, \Delta) \leq \min_{x \hbox{ critical point of } P \hbox{ on } \mathcal S^{n-1}} |P(x)|$$ 定义 \ref{maindef}（第 \pageref{maindef} 页）将实现到判别式距离的多项式奇点化方法分为两类。接着，我们在定理 \ref{extremal}（第 \pageref{extremal} 页）中证明，对于 {\em 极值} 超曲面（即具有最大 Betti 数的超曲面），其中一类是被禁止的。这意味着作为推论 \ref{bombeqdistbis}（第 \pageref{bombeqdistbis} 页），在上述情况下该不等式变为等式。本文的主要结果涉及最大化到判别式距离（且 $\|P\| = 1$）的极值超曲面 $P=0$。它们是非常显著的对象，享有类似于二次型的性质：它们是线性形式幂 $x \mapsto \langle x | u_i \rangle^d$ 的线性组合，其中向量 $u_i$ 是 $P$ 在 $\mathcal S^{n-1}$ 上对应于 $|P|$ 的最小正临界值的临界点。这是针对所有代数超曲面的类似定理 \ref{comblin}（第 \pageref{comblin} 页）的推论 \ref{comblinbis}（第 \pageref{comblinbis} 页）。下一节致力于两个变量的齐次多项式。我们证明了在单位圆上具有 $2d$ 个等距根的 $d$ 次多项式，是在具有相同范数和根数的多项式中到判别式距离的局部最大值。我们猜想它是全局最大值，并且当 $d < r \leq 2d$ 时，在单位圆上具有 $2r$ 个等距根的 $d$ 次多项式也是类似的全局最大值。这一主张得到了以下事实的支持：我们能够证明这一结论连同推论 \ref{comblinbis} 导出了有趣的三角恒等式，而我们在其他地方未能找到这些恒等式（命题 \ref{trigo}，第 \pageref{trigo} 页）。我们还获得了关于代数超曲面的度量信息。首先，在极值超曲面的情况下，我们给出了 $P$ 的梯度积分曲线长度的上界（定理 \ref{bandwidth}，第 \pageref{bandwidth} 页），该曲线位于 $|P|$ 小于 $|P|$ 的最小正临界值的带状区域内。其次，给出了 $P$ 的零点集连通分量的大小和间距的一般下界（推论 \ref{sphereinside} 和定理 \ref{distancebetween}）。最后一节将展示实验结果，其中包括五条远离判别式的极值六次曲线。这些是通过非常耗时的数值优化（数月）获得的，其中一些尚未完成。