方程组的判别式

在代数方程组的系数中,怎样的多项式才应被称为其判别式?我们证明了一组事实,给出了一个可能的回答。若一个方程组的解集在扰动其(非零)系数时同胚类型不变,则称其为典型的(typical)。所有非典型(atypical)方程组的集合,在由 $n$ 个变量中 $k$ 个方程的所有方程组(其单项式包含在 $k$ 个给定的有限集合中)所构成的空间中,构成一个超曲面。该超曲面 $B$ 包含所有具有奇异解的方程组,这一层通常被称为判别式;其各分支的余维数尚未被完全理解(例如对偶亏格环面簇尚未分类),因此 $B$ 的维数纯性(purity of dimension)显得有些出乎意料。我们从一个类似的热带纯性事实中推导出它。一个分支 $B_i$ 上的泛方程组与一个典型方程组的差别,体现在其解集的 Euler 特征上。将这些 Euler 特征的差视为 $B_i$ 的重数,我们将 $B$ 转化为一个有效除子,其方程我们称之为 Euler 判别式,理由如下。首先,它恰好在那些具有奇异解(可能在无穷远处)的方程组处为零。其次,尽管其定义是拓扑的,却存在一个简单的线性代数公式,以及关于其 Newton 多胞形的一个正公式。第三,它插值了许多经典对象(稀疏结式、A-行列式、形变的判别式),并继承了它们的许多优良性质。这使得我们的结果可以特化到泛多项式映射:一个主多项式映射(其分支是有限多个单项式的泛线性组合)的分歧集总是一个超曲面,且该映射的一个泛非典型纤维与典型纤维的差别在于其 Euler 特征。