参数多项式方程与不等式系统求解的复杂度

考虑由 n 个多项式方程和 r 个多项式不等式组成的系统，这些方程在 n 个未知变量中，次数受 d 的限制，系数在 s 个参数的多项式环中，参数的有理系数的位大小最多为 $\sigma$。从实数角度看，求解此类系统通常意味着描述参数空间中某些半代数集合，其中该参数化系统的实解数目保持恒定。遵循 Lazard 和 Rouillier 的工作，这可以通过计算判别变量来实现。在本报告中，我们关注当参数的普遍特化使得方程组生成理想情况下产生的情形，这在实际应用中很常见。在这种情况下，我们提供了一种确定性方法，用于计算最小判别变量，从而将问题归约为消元问题。此外，我们证明了计算得到的最小判别变量的次数上界为 $D:=(n+r)d^{(n+1)}$，且该方法的复杂度为 $\sigma^{\mathcal{O}(1)} D^{\mathcal{O}(n+s)}$ 位运算，在确定性图灵机上实现。