规则非二分图中距离受限匹配扩展

设 $m$ 和 $r$ 为整数且满足 $m \ge r \ge 3$，设 $G$ 为阶为偶数的 $r$ regular 图。设 $M$ 为 $G$ 中的一个匹配，其大小为 $m$，且 $M$ 中每对边的距离至少为 $3$。2023 年，Aldred 等人证明了若 $G$ 为循环 $(mr - r + 1)$ -edge-connected 且 $G$ 为二分图，则存在包含 $M$ 的完美匹配。本文给出 Aldred 等人的非二分图类比结果。$U \subseteq V(G)$ 的奇耳是长度奇数的路径，其端点位于 $U$ 但内部顶点不位于 $U$，或恰好有一个顶点位于 $U$ 的奇数长度环。我们的第一个结果表明，若 $G$ 为循环 $(mr - m + 1)$ -edge-connected 且存在 $mr - \left\lceil \frac{r}{2} \right\rceil + 1$ 条 $V(M)$ 的 edge-disjoint 奇耳，则 $M$ 可扩展为 $G$ 的完美匹配。我们进一步证明，若 $G$ 包含 $mr - r + 1$ 条 $V(M)$ 的 edge-disjoint 奇耳，且不存在大小小于 $(2m-1)(r-1)$ 的循环边割将一个奇环与另一个环分离，则 $M$ 仍可扩展为完美匹配。第二个结果将 Aldred 等人的定理扩展到非二分图，情况为 $r \ge 4$，或当 $r = 3$ 且 $M$ 中每对边的距离至少为 $5$。还证明上述结果在 $m \le r - 1$ 时也成立，不需要对 $M$ 施加距离条件。