两个流形之间的距离、拓扑相变和尺度律

拓扑相通常由以整数表示的拓扑不变量来表征。然而，不同的拓扑系统需要不同的拓扑不变量进行度量，例如几何相位、拓扑秩序、缠绕数等。此外，几何相位及其相关定义在临界点处往往失效。因此，预测在两种不同拓扑相之间的转换会发生什么情况具有挑战性。为此，本文提出一种基于保真度和迹距离的通用定义，即流形距离。该定义不依赖于流形的伯利联结，而是基于两组流形的信息——它们的基态波函数。因此，它可以度量不同的拓扑系统（包括传统带拓扑模型、非厄米系统和拓扑秩序模型等），并在两种拓扑相之间的转换过程中表现出某些普遍规律。我们的研究表明，当两种流形的性质相同时，它们之间的距离及其关联的高阶导数可以平滑地相互转化。然而，对于两种不同的拓扑流形，高阶导数在临界点附近表现出各种发散行为。对于后续研究，我们期望该方法被推广到实空间或非晶格模型，以便更广泛地研究诸如开放系统和许多体局域化等各种物理平台。