耗散分数阶标准映射：黎曼-刘维尔与卡尔皮托

本研究中，考虑到真实动力系统中耗散的固有本质，我们在分数阶动力学的框架下探讨耗散效应。具体而言，我们考虑两个著名分数阶映射的耗散版本：黎曼-刘维尔（RL）分数阶标准映射和卡尔皮托（C）分数阶标准映射（fSMs）。两种fSMs均为以作用量-角变量 $(I_n,\theta_n)$ 给出的具有记忆性的二维非线性映射，其中 $n$ 为映射的离散迭代时间。在耗散版本中，这些fSMs由非线性强度 $K$、导数的分数阶 $\alpha\in(1,2]$ 以及耗散强度 $\gamma\in(0,1]$ 参数化。本工作中我们关注 $K\gg1$ 时的平均作用量 $\langle I_n \rangle$ 和平均平方作用量 $\langle I_n^2 \rangle$，即沿强混沌轨道。我们首先证明，当 $|I_0|>K$ 时，耗散在两种耗散fSMs中均导致平均作用量的指数衰减 $\langle I_n \rangle \approx I_0\exp(-\gamma n)$。然后，我们证明 $\langle I_n^2 \rangle_{\text{RL-fSM}}$ 几乎不依赖于 $\alpha$（仅当 $\alpha\to 1$ 时效应可见），而任何 $\alpha<2$ 均强烈影响 $\langle I_n^2 \rangle_{\text{C-fSM}}$ 的行为。我们还推导出一个能够描述 $\langle I_n^2 \rangle_{\text{RL-fSM}}(K,\alpha,\gamma)$ 的解析表达式。