Fourier 神经算子离散化误差分析
数值分析
2025-09-29 v2 机器学习
数值分析
摘要
算子学习是一种旨在从数据中逼近函数空间间映射的机器学习变体。Fourier 神经算子(Fourier Neural Operator, FNO)是用于算子学习的主要模型架构之一。FNO 将物理空间中的线性与非线性操作与傅里叶空间中的线性操作相结合，形成一个作用于函数空间之间的参数化映射。虽然在定义上，FNO 是连续空间中的对象，执行连续上的卷积，但其实现是离散化对象，在网格上进行计算，允许通过快速傅里叶变换(FFT)实现高效计算。因此，连续 FNO 定义与实际中使用的离散对象之间的离散化误差是除其他已分析来源的模型误差之外的另一类误差。本文考察了这种离散化误差，并以网格分辨率为函数，获得输入正则性下的代数收敛率。进行数值实验以验证理论并描述模型稳定性。此外，提出一种算法，利用离散化误差和模型误差的分解，以优化计算训练时间。
引用
@article{arxiv.2405.02221,
title = {Discretization Error of Fourier Neural Operators},
author = {Samuel Lanthaler and Andrew M. Stuart and Margaret Trautner},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.02221},
year = {2025}
}