离散对称与 Clifford 代数

我们研究基本离散对称（空间反演 P、时间反演 T 及其组合 PT）的代数描述。从 Clifford 代数的基本自同构出发，考虑实数与复数域上多维空间正交群的离散子群。依据除环结构，对实数域上 Clifford 代数的自同构群建立了完全分类。利用自同构群与有限群之间的同构，定义了正交群的八个双重覆盖（Dabrowski 群）与八类实 Clifford 代数之间的对应。在复数域上，复正交群的两个非同构双重覆盖与两类复 Clifford 代数之间存在对应。我们表明这些对应与著名的 Atiyah-Bott-Shapiro 周期性相关联。在扩大的 Clifford 代数集合上引入了广义 Brauer-Wall 群。阐明了具有互为相反签名的两种 Clifford-Lipschitz 群之间不等关系的结构。详细考虑了物理上重要的 Lorentz 群两种不同双重覆盖的情形。