常曲率空间中的离散等周问题

本文旨在证明欧几里得、球面及双曲 $d$ 维空间中具有 $d+2$ 个顶点的单形与多面体的等周不等式。特别地，我们找到了给定内切半径下体积最小的 $d$ 维双曲单形与球面四面体。此外，我们研究了具有 $d+2$ 个顶点且给定外接半径的极大体积球面与双曲多面体，以及具有 $d+2$ 个顶点、给定内切半径且体积最小或总边长最小的双曲多面体的性质。最后，对任意 $1 \leq k \leq d$，我们研究了具有 $d+2$ 个顶点、固定内切半径且其 $k$-骨架体积最小的欧几里得单形与多面体的性质。我们研究的主要工具是欧几里得、球面与双曲 Steiner 对称化。