$A_d$ 格基本域与 $d$ 变量单纯形上的离散傅里叶分析

研究了 $d$ 维 $A_d$ 型格的基本域 $\Omega_d$ 上的离散傅里叶分析，其中 $\Omega_2$ 是正六边形，$\Omega_3$ 是菱形十二面体，并通过考虑不变元和反不变元推导了 $d$ 维单纯形上的类似结果。我们的主要结果包括这些域上的三角函数傅里叶分析、插值和求积公式。特别地，单纯形上的三角拉格朗日插值被证明满足一个显式的紧凑公式，且该插值的勒贝格常数被证明是 $(\log n)^d$ 量级。单纯形上的基本三角函数可被识别为文献中已出现的多变量切比雪夫多项式。我们研究了这些多项式的公共零点，并表明它们是一族高斯求积公式的节点，这仅提供了此类公式的第二个已知例子。