局部单项变换的有向并集与 GCD 整环

设 $(R, \mathfrak{m})$ 为维数 $d \geq 2$ 的正则局部环。$R$ 的局部单项变换是具有 $R_1= R[\frac{\mathfrak{p}}{x}]_{\mathfrak{m}_1}$ 形式的环，其中 $x \in \mathfrak{p}$ 为正则参数，$\mathfrak{p}$ 为 $R$ 的正则素理想，且 $\mathfrak{m}_1$ 为 $R[\frac{\mathfrak{p}}{x}]$ 中位于 $\mathfrak{m}$ 之上的极大理想。在本文中，我们研究由 $R$ 的迭代局部单项变换所得无限有向并集 $S= \cup_{n \geq 0}^{\infty} R_n$ 这类环的某些性质。为研究这些环何时为 GCD 整环，我们也在 GCD 整环有向并集这一更一般的情形下给出若干结果。