狄拉克定理与完美匹配的开关几何

设 $G$ 为包含 $n$ 个顶点的图（$n$ 为偶数），记 ${\cal M}_G$ 为 $G$ 中所有完美匹配的集合。狄拉克定理指出：若 $G$ 的最小度 $\delta(G)$ 至少为 $n/2$，则 ${\cal M}_G$ 必非空；而当 $\delta(G) \le n/2-1$ 时，${\cal M}_G$ 不一定非空。给定整数 $k\ge 2$，记 $\mathcal H_k(G)$ 为在 ${\cal M}_G$ 上构造的重构图：若 $M_1,M_2\in {\cal M}_G$ 两者通过至多 $k$ 条边的转换可达，则在 $\mathcal H_k(G)$ 中连接它们。除了非空性（即狄拉克定理所保证的），基于 $G$ 的最小度 $\delta(G)$，$\mathcal H_k(G)$ 还能保证哪些自然属性？我们证明：若 $\delta(G) \ge \lfloor2n/3\rfloor+1$，则 $\mathcal H_2(G)$ 必连通且为扩散图；而对于每个 $\delta\le \lfloor(2n-2)/3\rfloor$，均存在最小度为 $\delta$ 的 $n$ 顶点图 $G$，使得 $\mathcal H_2(G)$ 不连通。我们还证明：若 $\delta(G) \ge n/2+2$，则 $\mathcal H_3(G)$ 必连通且为扩散图；而对于每个 $\delta\le n/2-C_k$（其中 $C_k$ 取决于 $k\ge 3$），均存在最小度为 $\delta$ 的 $n$ 顶点图 $G$，使得 $\mathcal H_k(G)$ 不连通。进一步地，对于任意 $\varepsilon >0$，存在 $c>1$ 使得对每个 $k\ge 2$ 和足够大的 $n$，均存在最小度为 $\delta(G) \ge \frac{n}2-\varepsilon kn$ 的 $n$ 顶点图 $G$，使得 $\mathcal H_k(G)$ 至少有 $c^n$ 个连通分支。就保证 $\mathcal H_k(G)$ 具有正最小度（即无孤立顶点）而言，我们证明：若 $\delta(G) \ge n/2+1$，则 $\mathcal H_2(G)$ 必具有正最小度。对于 $k\ge 3$，我们说明此阈值与著名的 Caccetta-Häggkvist 猜想密切相关。