离散环上 $\mathrm{SL}_2$ 在 $\mathbb{C}$ 中标准线性作用的丢番图指数

我们给出了与 $\mathrm{SL}_2 ( \mathcal{O}_K )$ 在穿孔复平面 $\mathbb{C}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}$ 上的标准线性作用相关的各种丢番图指数的上界和下界，其中 $K$ 是一个数域，其整数环 $\mathcal{O}_K$ 是离散的，且与任何复数之间的距离在一个单位之内。所得结果类似于 Laurent 和 Nogueira 对 $\mathrm{SL}_2 ( \mathbb{Z} )$ 在 $\mathbb{R}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}$ 上作用的结果，尽管对我们而言，一致良好的界仅在一个零测集之外获得。