素数中的丢番图方程：仿射超曲面上素数点的密度

设 $F \in \mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_n]$ 为次数 $d \geq 2$ 的齐次型，令 $V_F^*$ 表示仿射簇 $V(F) = \{ \mathbf{z} \in {\mathbb{C}}^n: F(\mathbf{z}) = 0 \}$ 的奇异轨迹。在本文中，我们证明了在 $F$ 满足适当的局部条件且 $n - \dim V_F^* \geq 2^8 3^4 5^2 d^3 (2d-1)^2 4^{d}$ 时，方程 $F(x_1, \ldots, x_n) = 0$ 存在具有素数坐标的整数解。我们的结果改进了Cook和Magyar先前已知的结果（B. Cook and A. Magyar, `Diophantine equations in the primes'. Invent. Math. 198 (2014), 701-737），后者要求 $n - \dim V_F^*$ 为关于 $d$ 的指数塔。